RELASI
FUNGSI
1.
Pengertian
Relasi
Relasi adalah aturan yang
menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana A disebut domain
(daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan). relasi dari A ke B ditulis dengan
aRb atau R(a,b)
Contoh
:
A B
Dari contoh diatas, jika kita mencari domain,kodomain, dan rangenya, maka
berturut-turut adalah sebagai berikut:
·
Daerah asal (Domain) D={1,2,3}= himpunan A
·
Daerah kawan (Kodomain) K={2,4,6}= himpunan B
·
Daerah hasil (Range) Rg={2,4,6)
2.
Cara
menyatakan relasi
Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara yaitu :
a. Diagram
panah
b. Diagram
cartesius
c. Himpunan
pasangan berurutan
a.
Diagram
panah
Langkah-langkah menyatakan relasi dengan diagram
panah
1. Himpunan
pertama atau himpunan A diletakkan di sebelah kiri
2. Himpunan
kedua atau himpunan B diletakkan di sebelah kanan
3. Buatlah
anak panah menunjukkan relasi antara himpunan A dengan himpunan B
Contoh :
A = (Ani, Irfan, Arman,
Ahmad, Erwin)
B
= (Bakso, Nasi goreng, Mie ayam, Coto, Ikan Bakar)
b.
Diagram
cartesius
Langkah-langkah menyatakan relasi dengan diagram
cartesius
1. Anggota
himpunan pertama atau himpunan A diletakkan pada sumbu horizontal
2. Anggota
himpunan kedua atau himpunan B diletakkan pada sumbu vertikal
3. Buatlah
Noktah (∙) yang menunjukkan relasi antara himpunan A dengan himpunan B.
Contoh
c.
Himpunan
pasangan berurutan
Contoh
:
1. Himpunan
anak kita nyatakan sebagai himpunan A dan himpunan makanan yang disukai kita
nyatakan sebagai himpunan B. Kita daftarkan masing-masing anggota himpunan A
dan anggota himpunan B, yaitu:
A = {Aris , Bari ,
Cecep , Darla , Fira}
B
= { soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate, sop }
2. Kita
pasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan relasi: ”makanan kesukaannya” dalam bentuk
(x , y) . Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x , y) dinamakan
himpunan pasangan berurutan. Relasi dari himpunan A ke himpunan B kita nyatakan
dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:
a R b= {(Aris , rawon) , (Aris , sop) , (Bari ,
soto) , (Bari , rawon) , (Bari , gulai) , (Cecep , sate) , (Cecep , nasi
goreng) , (Fira , sate)}
3. Macam-macam relasi
a. Reflekatif
Misalkan R
sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif
jika untuk p € P berlaku (p,p) € R.
Contoh : Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap angggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
Contoh : Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap angggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
b. Simetris
Misalkan R
sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris,
apabila untuk setiap (x,y) € R berlaku (y,x) € R.
Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.
Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.
c. Transitif
Misalkan R
sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila
untuk setiap (x,y) € R dan (y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.
Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) € R din (y,z) € R berlaku (x,z) € R.
Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) € R din (y,z) € R berlaku (x,z) € R.
d. Antisimetris
Misalkan R
sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris,
apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.
Contoh : Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.
Contoh : Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.
e. Ekuivalensi
Misalkan R
sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika
dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif.
Contoh : Dibmerupakan relasi ekivalensierikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(3,3)}. Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris din transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.
Contoh : Dibmerupakan relasi ekivalensierikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(3,3)}. Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris din transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.
1.
Pengertian fungsi
fungsi (pemetaan) adalah suatu relasi yang memasangkan setian
anggota dari A dengan tepat satu anggota dari B, dan dapat ditulis F: A B 
Untuk lebih memahami tentang fungsi, perhatikan relasi berikut ini:
Penjelasan :
A.
Bukan fungsi, sebab
ada sebuah unsur dari A yang tidak mempunyai pasangan dari B
B.
Bukan fungsi,
sebab ada sebuah unsur dari A yang berpasangan dengan dua unsur dari B
C.
Fungsi, sebab
setiap unsur dari A dipasangkan dengan tepat satu anggota dari B
D.
Fungsi, sebab
setiap unsur dari A dipasangkan tepat satu dengan anggota dari B
2.
Cara menyatakan fungsi
Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan
tiga cara yaitu dengan diagram
panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan
Contoh :
Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 }
a.
Buatlah diagram panah yang menunjukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a à 1 ,
i à 2 , u à 1 , e à 4 , o à 2 .
b. Nyatakan pula dengan diagram
cartesius
c
. Nyatakan pula f sebagai himpunan
pasangan berurutan
jawab :
a.
A B
 |
b.
c.
himpunan
pasangan berurutan
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) ,
(o , 2) }
3.
Macam-macam fungsi
1)
Fungsi f :A-> B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak
berpasangan dengan domain
Fungsi f :A-> B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak
berpasangan dengan domain |
2)
Fungsi
f:A-> B disebut fungsi SURJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan paling
sedikit satu dengan domain
 |
3)
Fungsi f:A-> B disebut fungsi BIJEKTIF. jika jumlah
anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)
Fungsi f:A-> B disebut fungsi BIJEKTIF. jika jumlah
anggota himpunan harus sama n(A) = n(B) |
|
 |
4.
Banyaknya pemetaan dari dua himpunan
Banyaknya pemetaan dari dua himpunan
Jika n(A) = a
, dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari
himpunan A
ke B adalah ba dan
himpunan B
ke A adalah ab
contoh
:
jika
A={bilangan prima kurang dari 5} dan B=(huruf vokal}. Hitunglah banyak pemetaan
yang mungkin terjadi
a.
Dari A ke B
b.
Dari B ke A
Jawab :
a.
A={2,3}, n(A)=
2 , B={a,i,u,e,o}, n(B)=5
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = b2 = 52=25
b.
Banyaknya
pemetaan yang mungkin dari B ke A= ab=25=32
5.
Menghitung nilai fungsi
Untuk menghitung nilai fungsi dapat
digunakan rumus :
Menentukan
nilai fungsi f (x) adalah dengan mensubstisusikan/mengganti nilai x yang
diketahui pada rumus fungsi f (x) tersebut
Contoh
:
1.
Suatu fungsi f dinyatakan dengan f (x) = 3x – 2, tentukan nilai dari :
a. f
(0)
b. f
(-5)
c. f
(6)
Jawab
:
a. f
(x) = 3x – 2 b.
f (x) = 3x – 2 c.
f (x) = 3x - 2
f
(0) = 3 0 – 2 f
(-5) = 3 (-5) – 2 f
(6) = 3 6 - 2
= 0
– 2 =
-15 – 2
= 18 - 2
= -2 =
-17
= 16
6.
Menentukan bentuk fungsi
Bentuk/rumus
suatu fungsi dapat ditentukan jika diketahui nilai dan data fungsi dengan menggunakan
rumus f (x) = ax + b untuk fungsi linier atau rumus f (x) = ax2+ bx
+ c untuk fungsi kuadrat.
Contoh
:
Suatu
fungsi linier didefinisikan dengan rumus f (x) = ax + b. Jika
diketahui f (3) = 14 dan f (5) = 20, tentukanlah:
a.
nilai a dan b
b. bentuk/rumus
fungsi
Jawab
:
f
(x) = ax + b
f
(3) = 3a + b = 14
f (5) = 5a + b = 20 - -2a
= -6
a = 3
→ 3a
+ b = 14
3(3) + b = 14
9 + b = 14
b = 5
Bentuk fungsi :
f (x) = ax + b
f (x) = 3x + 5
7.
Menggambar grafik fungsi
Menggambar
grafik fungsipada sistem koordinat Cartesius dapat dilakukan dengan membuat
tabel fungsi untuk menemukan perubahan nilai fungsi jika variabel x berubah.
1.
Langkah-langkah
yang perlu dilakukan untuk manggambar grafik fungsi adalah :
2.
Buatlah tabel
nilai fungsi dengan memperhatikan domain/daerah asal
3.
Hitunglah nilai
f (x) dengan tabel nilai fungsi
4.
Buatlah sumbu
koordinat Cartesius yaitu sumbu x dan sumbu f (x) atau y
5.
Buatlah noktah
yang menghubungkan nilai x dan f (x) dari tabel baris pertama dan terakhir
6.
Jika domainnya
bilangan Realmaka grafiknya tinggal dibuat dengan menghubungkan koordinat
titik-titik yang ada dengan kurva mulus.
contoh :
diketahui rumus
fungsi f(x)= x-1 dengan domain {0,1,2,3}
jawab :
|
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
F(x)
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
|
|
(0,-1)
|
(1,0)
|
(2,1)
|
(3,2)
|
Rangkuman
1.
Relasi
a.
Relasi adalah aturan
yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana A disebut
domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan). relasi dari A
ke B ditulis dengan aRb atau R(a,b)
b.
Suatu relasi R
apat dinyatakan dalam beberapa cara yaitu :
§ Diagram pananh
§ Diagram cartesius
§ Himpunan pasangan berurutan
c.
Macam-macam
relasi
§ Reflekatif
§ Simetris
§ Transitif
§ Ekuivalensi
§ Antisimetris
2.
Fungsi
a.
fungsi (pemetaan) adalah suatu relasi yang memasangkan setian
anggota dari A dengan tepat satu anggota dari B, dan dapat ditulis F: A B
fungsi (pemetaan) adalah suatu relasi yang memasangkan setian
anggota dari A dengan tepat satu anggota dari B, dan dapat ditulis F: A B
b.
Suatu fungsi F: A
Bdapat dinyatakan dalam bentuk diagram koordinat, diagram panah, atau
himpunan pasangan berurutan
Suatu fungsi F: A
Bdapat dinyatakan dalam bentuk diagram koordinat, diagram panah, atau
himpunan pasangan berurutan
c.
Macam-macam
fungsi
§ Fungsi into
§ Fungsi surjektif
§ Fungsi bijektif
d.
Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan
yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab
e.
Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus : F (x) = ax+b
f.
Bentuk/rumus
suatu fungsi dapat ditentukan jika diketahui nilai dan data fungsi dengan
menggunakan rumus f (x) = ax + b untuk fungsi linier atau rumus f (x) = ax2+
bx + c untuk fungsi kuadrat.
g.
Menggambar
grafik fungsipada sistem koordinat Cartesius dapat dilakukan dengan membuat
tabel fungsi untuk menemukan perubahan nilai fungsi jika variabel x berubah
Soal :
1)
a. Sebutkan daerah asal dan daerah hasil dari relasi
{(0,1,(1,2),(2,3),(3,4)}
b. gambarlah
diagram panah dari relasi tersebut
2)
Diketahui relasi “faktor dari” dari himpunan A={1,2,3,4} ke
himpunan B={2,4,6,8,)
a.
Daerah asal (domain)
b.
Daerah kawan (kodomain)
c.
Daerah hasil (range)
d.
Himpunan pasangan berurutan
3)
Banyaknya pemetaan dari himpunan X={a.b.c} ke Y{1,3} adalah
4)
Suatu fungsi ditentukan dengan f : x à 5x -3
Tentukan :
a. Rumus fungsi .
b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .
5)
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f (x) = ax + b
, jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .
Tentukan :
a. Nilai a
dan b
b. Bentuk
fungsinya
c. Bayangan dari – 3
6)
Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1 dengan domain {0,1,2,3}
7)
Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3
Tentukan :
a. g ( -2 )
b. Nilai a jika
g (a) = -5
Jawaban :
1.
a. Daerah asal (Domain) D= {0,1,2,3} dan daerah
hasil (Range) Rg={1,2,3,4}
b. diagram
panah
A B
 |
2.
a. Daerah asal
(Domain) D={1,2,3,4}
b. Daerah kawan
(Kodomain) K={2,4,6,8}
c. Daerah hasil
(Range) Rg={2,4,6,8,}
d. R={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,4),(4,8)}
3.
jika Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak
pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab
n(x) = 3
n(y) = 2
jadi, banyak
pemetaan dari x ke y = 23
4.
a. Untuk menghitung nilai fungsi dapat
digunakan rumus :
f (x) = ax + b
Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3
b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3
b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3
untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3
= 17
x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 =
-8
Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17
dan
x = -1 adalah -8
5.
Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika data fungsi diketahui . Bentuk fungsi
linier dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b
a.
f (x) = ax + b
f (2) = 2a + b = 10 à
2a + b = 10
f (-4) = -4a + b = -8 à -4a + b = -8 -
6a
= 18
a
= 3
untuk a = 3 à 2a + b = 10
2 . 3 + b =
10
6 + b = 10
b = 4
Jadi , nilai a = 3
dan b = 4
b.
f (x) = ax + b
f (x) = 3x + 4
Jadi , bentuk fungsinya f (x) =
3x + 4
c.
Bayangan dari – 3
f (x) = 3x + 4
f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4
= - 9 + 4
= -
5
6.
f (x) = x +1
daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }
|
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
x+1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
(0,1)
|
(1,2)
|
(2,3)
|
(3,4)
|
(4,5)
|
(5,6)
|
Grafiknya
:
7.
a. g (x) = -4x
+ 3
g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3
= 8 + 3
= 11
b. g (a) = - 4a + 3
- 4a + 3 = - 5
- 4a = - 5 – 3
- 4a = - 8
a
= 2
Daftar pustaka
Sukirman, dkk., 2001, Matematika,
Pusat Penerbitan Universitas Terbuka Departemen Pendidikan Nasional,
Jakarta.
Markaban, Logika Matematika, Widyaiswara
PPPG Mat Yogyakarta, Yogyakarta.
0 komentar:
Posting Komentar